a: góc OBA+góc OCA=180 độ

=>ABOC nội tiếp

Xét (O) có

AB,AC là tiếp tuyến

=>AB=AC
mà OB=OC

nên OA là trung trực của BC

=>OA vuông góc BC

b: DE//CF

=>sđ cung CD+sđ cung EF
góc AIB=1/2(sđ cung BD+sđ cung EF)

ABOC nội tiếp

=>góc AOB=góc ACB=1/2*sđ cung BC

=1/2(sđ cung EF+sđ cung EB)

=>góc AIB=góc AOB

=>AOIB nội tiếp

=>góc OIA=90 độ

ΔODE cân tại O

mà OI là đường cao

nên I là trung điểm của DE

a) Xét tứ giác ABOC có 

\(\widehat{ABO}\) và \(\widehat{ACO}\) là hai góc đối

\(\widehat{ABO}+\widehat{ACO}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)

Do đó: ABOC là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

a) Vì AB,AC là tiếp tuyến \(\Rightarrow\Delta ABC\) cân tại A có AO là phân giác \(\angle BAC\)

\(\Rightarrow OA\bot BC\)

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta AEB:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle ABD=\angle AEB\\\angle EABchung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta ABD\sim\Delta AEB\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{AD}{AB}\Rightarrow AB^2=AD.AE\)

b) tam giác ABO vuông tại B có đường cao BH nên áp dụng hệ thức lượng

\(\Rightarrow AB^2=AH.AO\Rightarrow AH.AO=AD.AE\Rightarrow\dfrac{AH}{AE}=\dfrac{AD}{AO}\)

Xét \(\Delta AHD\) và \(\Delta AEO:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{AH}{AE}=\dfrac{AD}{AO}\\\angle EAOchung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta AHD\sim\Delta AEO\left(c-g-c\right)\Rightarrow\angle AHD=\angle AEO\Rightarrow DEOH\) nội tiếp

c) Ta có: \(\angle BHE=90-\angle OHE=90-\angle ODE\) (DEOH nội tiếp)

\(=90-\dfrac{180-\angle DOE}{2}=\dfrac{1}{2}\angle DOE=\dfrac{1}{2}\angle DHE\) (DEOH nội tiếp)

\(\Rightarrow HB\) là phân giác \(\angle DHE\Rightarrow\dfrac{ID}{IE}=\dfrac{DH}{HE}\)

Vì HB là phân giác \(\angle DHE\) và \(HA\bot HB\Rightarrow HA\) là phân giác ngoài \(\angle DHE\)

\(\Rightarrow\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{DH}{HE}=\dfrac{ID}{IE}\Rightarrow AD.IE=ID.AE\)

a) Xét (O) có 

AB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)

AC là tiếp tuyến có C là tiếp điểm(gt)

Do đó: AB=AC(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Ta có: AB=AC(cmt)

nên A nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)

Ta có: OB=OC(=R)

nên O nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)

Từ (1) và (2) suy ra OA là đường trung trực của BC

hay OA\(\perp\)BC tại H

Xét ΔADB và ΔABE có 

\(\widehat{BAD}\) chung

\(\widehat{ABD}=\widehat{AEB}\left(=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{BD}\right)\)

Do đó: ΔADB\(\sim\)ΔABE(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AB}{AE}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(AB^2=AD\cdot AE\)

1) Ta có \(\widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90độ\left(gt\right)\)

Do đó\(\widehat{ABO}+\widehat{ACO}=180độ\)

Nên tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn đường kính AO

Tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC là trung điểm AO.

2) Xét ΔABD và ΔAEB có

\(\widehat{BAE}\)chung

\(\widehat{ABD}=\widehat{AEB}\)(góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây và góc nội tiếp cùng chắn \(\widebat{BD}\))

Nên ΔABD ΔAEB

Do đó \(\frac{AB}{AE}\)=\(\frac{AD}{AB}\)

Hay AB²= AE.AD

a: góc ABO+góc ACO=90+90=180 độ

=>ABOC nội tiếp đường tròn đường kính OA

Tâm là trung điểm của OA

Bán kính là OA/2

b: Xét (O) có

AB,AC là tiếp tuyến

=>AB=AC
mà OB=OC

nên OA là trung trực của BC

=>AO vuông góc BC

c: Xét ΔAMB và ΔABN có

góc AMB=góc ABN

góc MAB chung

=>ΔAMB đồng dạng với ΔABN

=>AM/AB=AB/AN

=>AB^2=AM*AN=AH*AO

hình

tham khảo

a: Xét tứ giác OIBA có \(\widehat{OIA}=\widehat{OBA}=90^0\)

nên OIBA là tứ giác nội tiếp

b: Xét ΔACD và ΔAEC có 

\(\widehat{ACD}=\widehat{AEC}\)

\(\widehat{DAC}\) chung

Do đó: ΔACD\(\sim\)ΔAEC
SUy ra: AC/AE=AD/AC
hay \(AC^2=AE\cdot AD\left(1\right)\)

c: Xét (O) có

AB là tiếp tuyến

AC là tiếp tuyến

Do đó: AB=AC
mà OB=OC

nên OA là đường trung trực của BC

Xét ΔOCA vuông tại C có CK là đường cao

nên \(AK\cdot AO=AC^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AK\cdot AO=AD\cdot AE\)

hay AK/AE=AD/AO

Xét ΔAKD và ΔAEO có

AK/AE=AD/AO

góc KAD chung

DO đó: ΔAKD\(\sim\)ΔAEO

Suy ra: \(\widehat{AKD}=\widehat{AEO}\)